Ma Trận Nghịch Đảo

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được Gọi là ma trận đơn vị giả dụ A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận biết ma trận bên trên là vĩnh cửu. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên tất cả dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp cho n


Dường như, ma trận đơn vị chức năng là tốt nhất. Thật vậy, mang sử có nhì ma trận đơn vị chức năng I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng cần I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị đề xuất I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 ma trận vuông cấp cho n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ sống thọ một ma trận B vuông cung cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc kia, B được Hotline là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là độc nhất, vị giả sử lâu dài ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, ngày nay, có khá nhiều giáo trình quốc tế vẫn đề cùa đến có mang khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.

Thật vậy, đến A là ma trận cấp cho m x n bên trên trường số K. lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như lâu dài ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như lâu dài ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, tất nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch cần.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cung cấp n trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cung cấp 2 ta mọi có:

*
Nhận xét: Ma trận có tối thiểu 1 chiếc không (hoặc cột không) số đông không khả nghịch.

Xem thêm: Sinh Năm 81 Mệnh Gì, Thuộc Tuổi Gì? Cách Tính Chi Tiết Nhất

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(Quý khách hàng hãy thừ minh chứng kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giới tính giữa ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2) được Call là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) trường hợp E chiếm được tự ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phnghiền thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng xuất xắc cột điện thoại tư vấn phổ biến là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp loại (tốt cột) gần như khả nghịch và nghịch đảo của này lại là 1 ma trận sơ cấp cho chiếc.

Ta rất có thể kiểm tra trực tiếp tác dụng trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ bỏ A bởi một số hữu hạn các phnghiền chuyển đổi sơ cung cấp loại (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý khách hàng đọc có thể coi minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, những xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ còn khi dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra từ A do một số hữu hạn các phxay chuyển đổi sơ cấp mẫu (cột); bên cạnh đó, bao gồm dãy những phép biến hóa sơ cấp cái (cột) đó sẽ vươn lên là In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bởi phép biến hóa sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm kiếm tìm nghịch hòn đảo (ví như có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán thù này được sản xuất nhờ vào công dụng thứ hai của hệ trái 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n sản phẩm, 2n cột bằng cách ghxay thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào mặt cần ma trận A


*

Lập ma trận chi khối hận cấp cho n x 2n


Cách 2: Dùng những phxay chuyển đổi sơ cấp cho dòng để lấy < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là một ma trận lan can thiết yếu tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình thay đổi ví như A’ lộ diện ít nhất 1 mẫu không thì lập tức Tóm lại A ko khả nghịch (không cần thiết phải chuyển A’ về dạng bao gồm tắc) cùng xong xuôi thuật tân oán.

lấy ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch hòn đảo của: