Bạn đang xem: Pembahasan soal un persamaan trigonometri
A. π/3, π, 5π/3 B. 2π/3, π, 4π/3 C. 0, 2π/3, 4π/3, 2π D. 0, π/3, 5π/3, 2π E. 0, π/3, 4π/3, 2π Pembahasan: cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0 (2cos2x - 1) + cos x = 0 2cos2x + cos x - 1 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 1) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Cosinus bernilai konkret di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π → x = 180° Jadi, HP.. = 60°, 180°, 300° atau π/3, π, 5π/3 Jawaban : A Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materiSatuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian. UN 2017 Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π yaitu ... A. π/6, 5π/6 B. π/6, 7π/6 C. 5π/6, 7π/6 D. 5π/6, 11π/6 E. 7π/6, 11π/6 Pembahasan: 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin2x) 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x 6sin2x - 5sin x - 4 = 0 (3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -một nửa sin x = 4/3 → tidak memiliki solusi sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP.. = 210°, 330° atau 7π/6, 11π/6 Jawaban : E UN 2016 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x+ sin x = 0 untuk 0 ≤x ≤ 360° yaitu ... A. 60°, 120°, 150° B. 60°, 150°, 300° C. 90°, 210°, 300° D. 90°, 210°, 330° E. 120°, 250°, 330° Pembahasan: cos 2x+ sin x = 0 1 - 2sin²x+ sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 (2sin x +1)(sin x - 1) = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1 sin x = -1/2, 0 ≤x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° sin x = 1, 0 ≤x ≤ 360° → x = 90° Jadi, HP. = 90°, 210°, 330° Jawaban : D UN 2015 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 padomain authority 0 ≤x ≤ 360° yaitu ... A. 60°, 120° B. 60°, 240° C. 60°, 300° D. 120°, 240° E. 120°, 300° Pembahasan: cos 2x + 3cos x - 1 = 0 (2cos2x - 1)+ 3cos x - 1 = 0 2cos2x + 3cos x - 2 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 2) = 0 cos x = 50% atau cos x = -2 cos x = -2 → tidak memiliki solusi cos x = 1/2, 0 ≤x ≤ 360° Cosinus bernilai konkret di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HPhường = 60°, 300° Jawaban : C UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤x ≤ 180° yaitu ... A. 0°, 20°, 60° B. 0°, 20°, 100° C. 20°, 60°, 100° D. 20°, 100°, 140° E. 100°, 140°, 180° Pembahasan: 0° ≤x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1 cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540° Cosinus bernilai konkret di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1(360°) = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HPhường = 20°, 100°, 140° Jawaban : D UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0untuk 0° ≤ x ≤ 360° yaitu ... A. 30°, 150° B. 30°, 300° C. 60°, 150° D. 60°, 300° E. 150°, 300° Pembahasan: 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2(1 - sin2x) + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 0 2sin2x - 5sin x + 2 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 2) = 0 sin x = 50% atau sin x = 2 sin x = 2 → tidak memiliki solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HPhường = 30°, 150° Jawaban : A UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos2x - sin x = 0untuk 0° ≤ x ≤ 180° yaitu ... A. 30°, 150° B. 60°, 120° C.Xem thêm: Pnl Là Gì ? Thuật Ngữ P&L Có Ý Nghĩa Như Thế Nào
30°, 60°, 150° D. 60°, 90°, 120° E. 60°, 120°, 150° Pembahasan: cos2x - sin x = 0 (1 - 2sin2x) - sin x = 0 2sin2x + sin x - 1 = 0 (2sin x - 1)(sin x + 1) = 0 sin x = một nửa atau sin x = -1 sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180° (tidak adomain authority nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°) Jadi, HP = 30°, 150° Jawaban : A UN 2012 Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° yaitu ... A. 120°, 150° B. 150°, 165° C. 30°, 150° D. 30°, 165° E. 15°, 105° Pembahasan: cos 4x + 3sin 2x = -1 (1 - 2sin22x) + 3sin 2x = -1 -2sin22x + 3sin 2x + 2 = 0 2sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 (2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0 sin 2x = -50% atau sin 2x = 2 sin 2x = 2 → tidak memiliki solusi sin 2x = -1/2, 0° ≤ 2x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HPhường = 105°, 165° Jawaban : - UN 2010 Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x A. 0, π B. π/2, π C. 3π/2, π D. π/2, 3π/2 E. 0, 3π/2 Pembahasan: sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x (2sin x + 2) = 0 cos x = 0 atau sin x = -1 cos x = 0, 0 ≤ x sin x = -1, 0 ≤ x Jadi, HPhường = 90°, 270° atau π/2, 3π/2 Jawaban : D UN 2009 Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = một nửa, 0° A. 10, 50, 170, 230 B. 50, 70, 230 C. 50, 170, 230, 350 D. đôi mươi, 80, 100 E. 0, 50, 170, 230, 350 Pembahasan: sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = một nửa Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin(mathrmleft ( fracA+B2 ight )) cos(mathrmleft ( fracA-B2 ight )) pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2 2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2 sin (2x + 50)° = 1/2 sin (2x + 50)° = sin 30° Soluham mê I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -trăng tròn + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Soluđắm đuối II : 2x + 50 = (180 - 30) + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HPhường. = 50, 170, 230, 350 Jawaban : C UN 2008 Himpunan penyelesaian persamaan cos2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 240°, 300° B. 210°, 330° C. 120°, 240° D. 60°, 120° E. 30°, 150° Pembahasan: cos2x + 7sin x - 4 = 0 (1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0 -2sin2x + 7sin x - 3 = 0 2sin2x - 7sin x + 3 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 3) = 0 sin x = một nửa atau sin x = 3 sin x = 3 → tidak memiliki solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HPhường = 30°, 150° Jawaban : E UN 2005 Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 45°, 105°, 225°, 285° B. 45°, 135°, 225°, 315° C. 15°, 105°, 195°, 285° D. 15°, 135°, 195°, 315° E. 15°, 225°, 295°, 315° Pembahasan: Acos x + Bsin x = k cos (x - θ) dengan k = (sqrtmathrmA^2+B^2) tung θ = (mathrmfracBA) atau θ = arctan(mathrmleft ( fracBA ight )) Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B). 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0 ⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 (2cos2x - 1) - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x- sin 2x = 1 ............................(1) Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ) A = √3 dan B = -1 k = (sqrt(sqrt3)^2+(-1)^2) = 2 Karena (A, B) = (√3, -1) beradomain authority di kuadran IV maka θ beradomain authority di kuadran IV. rã θ = (frac-1sqrt3) = (-fracsqrt33) → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°) .........(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (2x - 330°) = 1 cos (2x - 330°) = 1/2 cos (2x - 330°) = cos 60° Soluđam mê I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi mê II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP. = 15°, 135°, 195°, 315° Jawaban : D UN 2004 Himpunan penyelesaian persamaan √6 sinx + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 15°, 105° B. 15°, 195° C. 75°, 105° D. 75°, 345° E. 105°, 345° Pembahasan: √6 sinx + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................(1) Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ) A = √2 dan B = √6 k = (sqrtleft ( sqrt2 ight )^2+left ( sqrt6 ight )^2) = 2√2 Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. chảy θ = (fracsqrt6sqrt2) = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2cos (x - 60°) ......(2) Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2√2cos (x - 60°)= 2 cos (x - 60°) = (fracsqrt22) cos (x - 60°) = cos 45° Soluđam mê I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solumê mẩn II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HPhường. = 15°, 105° Jawaban : A UN 2003 Untuk 0° ≤ x A. 120°, 180° B. 90°, 210° C. 30°, 270° D. 0°, 300° E. 0°, 300°, 360° Pembahasan: sinx - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................(1) Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ) A = -√3 dan B = 1 k = (sqrtleft ( -sqrt3 ight )^2+left ( 1 ight )^2) = 2 Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. chảy θ = (frac1-sqrt3) = (-fracsqrt33) → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°) .............(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (x - 150°) = √3 cos (x - 150°) = (fracsqrt32) cos (x - 150°) = cos 30° Soluham I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HPhường = 120°, 180° Jawaban : A
