Pembahasan soal un persamaan trigonometri

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat Sekolah Menengan Atas bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu memilih himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri padomain authority suatu interval tertentu. UN 2017 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π yaitu ... A. π/3, π, 5π/3 B. 2π/3, π, 4π/3 C. 0, 2π/3, 4π/3, 2π D. 0, π/3, 5π/3, 2π E. 0, π/3, 4π/3, 2π Pembahasan: cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0 (2cos2x - 1) + cos x = 0 2cos2x + cos x - 1 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 1) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Cosinus bernilai konkret di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π → x = 180° Jadi, HP.. = 60°, 180°, 300° atau π/3, π, 5π/3 Jawaban : A Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materiSatuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian. UN 2017 Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π yaitu ... A. π/6, 5π/6 B. π/6, 7π/6 C. 5π/6, 7π/6 D. 5π/6, 11π/6 E. 7π/6, 11π/6 Pembahasan: 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin2x) 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x 6sin2x - 5sin x - 4 = 0 (3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -một nửa sin x = 4/3 → tidak memiliki solusi sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP.. = 210°, 330° atau 7π/6, 11π/6 Jawaban : E UN 2016 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x+ sin x = 0 untuk 0 ≤x ≤ 360° yaitu ... A. 60°, 120°, 150° B. 60°, 150°, 300° C. 90°, 210°, 300° D. 90°, 210°, 330° E. 120°, 250°, 330° Pembahasan: cos 2x+ sin x = 0 1 - 2sin²x+ sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 (2sin x +1)(sin x - 1) = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1 sin x = -1/2, 0 ≤x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° sin x = 1, 0 ≤x ≤ 360° → x = 90° Jadi, HP. = 90°, 210°, 330° Jawaban : D UN 2015 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 padomain authority 0 ≤x ≤ 360° yaitu ... A. 60°, 120° B. 60°, 240° C. 60°, 300° D. 120°, 240° E. 120°, 300° Pembahasan: cos 2x + 3cos x - 1 = 0 (2cos2x - 1)+ 3cos x - 1 = 0 2cos2x + 3cos x - 2 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 2) = 0 cos x = 50% atau cos x = -2 cos x = -2 → tidak memiliki solusi cos x = 1/2, 0 ≤x ≤ 360° Cosinus bernilai konkret di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HPhường = 60°, 300° Jawaban : C UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤x ≤ 180° yaitu ... A. 0°, 20°, 60° B. 0°, 20°, 100° C. 20°, 60°, 100° D. 20°, 100°, 140° E. 100°, 140°, 180° Pembahasan: 0° ≤x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1 cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540° Cosinus bernilai konkret di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1(360°) = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HPhường = 20°, 100°, 140° Jawaban : D UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0untuk 0° ≤ x ≤ 360° yaitu ... A. 30°, 150° B. 30°, 300° C. 60°, 150° D. 60°, 300° E. 150°, 300° Pembahasan: 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2(1 - sin2x) + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 0 2sin2x - 5sin x + 2 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 2) = 0 sin x = 50% atau sin x = 2 sin x = 2 → tidak memiliki solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HPhường = 30°, 150° Jawaban : A UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos2x - sin x = 0untuk 0° ≤ x ≤ 180° yaitu ... A. 30°, 150° B. 60°, 120° C.


Bạn đang xem: Pembahasan soal un persamaan trigonometri


Xem thêm: Pnl Là Gì ? Thuật Ngữ P&L Có Ý Nghĩa Như Thế Nào



Xem thêm: Phong Thủy Phòng Thờ Tuổi Tân Hợi Nên Đặt Bàn Thờ Hướng Nào, Hướng Đặt Bàn Thờ Thần Tài Tuổi Tân Hợi

30°, 60°, 150° D. 60°, 90°, 120° E. 60°, 120°, 150° Pembahasan: cos2x - sin x = 0 (1 - 2sin2x) - sin x = 0 2sin2x + sin x - 1 = 0 (2sin x - 1)(sin x + 1) = 0 sin x = một nửa atau sin x = -1 sin x = 1/2
, 0° ≤ x ≤ 180° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180° (tidak adomain authority nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°) Jadi, HP = 30°, 150° Jawaban : A UN 2012 Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° yaitu ... A. 120°, 150° B. 150°, 165° C. 30°, 150° D. 30°, 165° E. 15°, 105° Pembahasan: cos 4x + 3sin 2x = -1 (1 - 2sin22x) + 3sin 2x = -1 -2sin22x + 3sin 2x + 2 = 0 2sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 (2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0 sin 2x = -50% atau sin 2x = 2 sin 2x = 2 → tidak memiliki solusi sin 2x = -1/2, 0° ≤ 2x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HPhường = 105°, 165° Jawaban : - UN 2010 Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x A. 0, π B. π/2, π C. 3π/2, π D. π/2, 3π/2 E. 0, 3π/2 Pembahasan: sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x (2sin x + 2) = 0 cos x = 0 atau sin x = -1 cos x = 0, 0 ≤ x sin x = -1, 0 ≤ x Jadi, HPhường = 90°, 270° atau π/2, 3π/2 Jawaban : D UN 2009 Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = một nửa, 0° A. 10, 50, 170, 230 B. 50, 70, 230 C. 50, 170, 230, 350 D. đôi mươi, 80, 100 E. 0, 50, 170, 230, 350 Pembahasan: sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = một nửa Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin(mathrmleft ( fracA+B2 ight )) cos(mathrmleft ( fracA-B2 ight )) pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2 2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2 sin (2x + 50)° = 1/2 sin (2x + 50)° = sin 30° Soluham mê I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -trăng tròn + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Soluđắm đuối II : 2x + 50 = (180 - 30) + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HPhường. = 50, 170, 230, 350 Jawaban : C UN 2008 Himpunan penyelesaian persamaan cos2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 240°, 300° B. 210°, 330° C. 120°, 240° D. 60°, 120° E. 30°, 150° Pembahasan: cos2x + 7sin x - 4 = 0 (1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0 -2sin2x + 7sin x - 3 = 0 2sin2x - 7sin x + 3 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 3) = 0 sin x = một nửa atau sin x = 3 sin x = 3 → tidak memiliki solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai konkret di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HPhường = 30°, 150° Jawaban : E UN 2005 Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 45°, 105°, 225°, 285° B. 45°, 135°, 225°, 315° C. 15°, 105°, 195°, 285° D. 15°, 135°, 195°, 315° E. 15°, 225°, 295°, 315° Pembahasan: Acos x + Bsin x = k cos (x - θ) dengan k = (sqrtmathrmA^2+B^2) tung θ = (mathrmfracBA) atau θ = arctan(mathrmleft ( fracBA ight )) Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B). 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0 ⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 (2cos2x - 1) - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x- sin 2x = 1 ............................(1) Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ) A = √3 dan B = -1 k = (sqrt(sqrt3)^2+(-1)^2) = 2 Karena (A, B) = (√3, -1) beradomain authority di kuadran IV maka θ beradomain authority di kuadran IV. rã θ = (frac-1sqrt3) = (-fracsqrt33) → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°) .........(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (2x - 330°) = 1 cos (2x - 330°) = 1/2 cos (2x - 330°) = cos 60° Soluđam mê I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi mê II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP. = 15°, 135°, 195°, 315° Jawaban : D UN 2004 Himpunan penyelesaian persamaan √6 sinx + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalah ... A. 15°, 105° B. 15°, 195° C. 75°, 105° D. 75°, 345° E. 105°, 345° Pembahasan: √6 sinx + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................(1) Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ) A = √2 dan B = √6 k = (sqrtleft ( sqrt2 ight )^2+left ( sqrt6 ight )^2) = 2√2 Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. chảy θ = (fracsqrt6sqrt2) = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2cos (x - 60°) ......(2) Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2√2cos (x - 60°)= 2 cos (x - 60°) = (fracsqrt22) cos (x - 60°) = cos 45° Soluđam mê I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solumê mẩn II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HPhường. = 15°, 105° Jawaban : A UN 2003 Untuk 0° ≤ x A. 120°, 180° B. 90°, 210° C. 30°, 270° D. 0°, 300° E. 0°, 300°, 360° Pembahasan: sinx - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................(1) Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ) A = -√3 dan B = 1 k = (sqrtleft ( -sqrt3 ight )^2+left ( 1 ight )^2) = 2 Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. chảy θ = (frac1-sqrt3) = (-fracsqrt33) → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°) .............(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (x - 150°) = √3 cos (x - 150°) = (fracsqrt32) cos (x - 150°) = cos 30° Soluham I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HPhường = 120°, 180° Jawaban : A